Việc bản đồ hóa chiều thứ ba bao gồm việc mở rộng không gian toán học của chúng ta từ mặt phẳng phẳng $\mathbb{R}^2$ sang $\mathbb{R}^3$ bằng cách thiết lập ba đường thẳng hướng vuông góc với nhau (trục x, trục y và trục z) giao nhau tại gốc tọa độ $O$.
Tương tự như chúng ta sử dụng chuỗi Maclaurin cho hàm mũ, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, để xây dựng các hàm phức tạp từ các hạng tử đa thức đơn giản, chúng ta xây dựng không gian 3D bằng cách chia nó thành tám tám phần tư sử dụng ba mặt phẳng tọa độ giao nhau mặt phẳng tọa độ (xy, yz và xz). Sự chuyển đổi này cho phép chúng ta xác định vị trí bất kỳ điểm P là một bộ ba có thứ tự (a, b, c), đại diện cho khoảng cách có hướng từ các mặt phẳng này—chuyển từ "độ phức tạp vô hạn" của một đường cong hình tuyết 2D đường cong hình tuyết đến thể tích có cấu trúc của thế giới vật lý.
Hình học của $\mathbb{R}^3$
Để xác định các điểm trong không gian, chúng ta cố định ba đường thẳng hướng đi qua $O$ vuông góc với nhau, được gọi là trục x, trục y, và trục z. Hướng của chúng tuân theo quy tắc Quy tắc bàn tay phải: nếu bạn khép các ngón tay phải từ trục x dương đến trục y dương, ngón cái sẽ chỉ về phía trục z dương (Hình 2).
Ba trục tọa độ xác định ba mặt phẳng tọa độ: mặt phẳng xy ($z=0$), mặt phẳng yz ($x=0$), và mặt phẳng xz ($y=0$). Các mặt phẳng này chia không gian thành tám phần được gọi là tám phần tư. Phần tư thứ nhất là nơi tất cả các tọa độ đều dương.
Với bất kỳ điểm $P$ nào, bộ ba $(a, b, c)$ chứa tọa độ x ($a$), tọa độ y ($b$), và tọa độ z ($c$). Đây là các khoảng cách có hướng từ các mặt phẳng yz, xz và xy tương ứng.
Sự tương đồng bản đồ học toán học
Việc xác định một điểm $P(a, b, c)$ bằng cách cộng các thành phần về cơ bản giống như cộng các hạng tử của một chuỗi. Hãy xét việc tìm tổng của chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$. Điều này đòi hỏi nhận ra mẫu quen thuộc của chuỗi Maclaurin $e^x$.
Chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ liên quan đến $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$. Để giải bài toán này, chúng ta thay đổi chỉ số để phù hợp với dạng quen thuộc:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
Tương tự như chúng ta nhận diện các thành phần trong một chuỗi lũy thừa, chúng ta nhận diện các trục và mặt phẳng để xác định vị trí không gian.
Nguy hiểm khi tăng chiều
Lưu ý: Khi một phương trình được đưa ra, chúng ta cần hiểu từ ngữ cảnh liệu nó biểu diễn một đường cong trong $\mathbb{R}^2$ hay một mặt trong $\mathbb{R}^3$.
- Phương trình $y=5$: Trong $\mathbb{R}^1$, nó là một điểm. Trong $\mathbb{R}^2$, nó là một đường thẳng ngang. Trong $\mathbb{R}^3$, nó là một toàn bộ mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ xz (Hình 7).
- Phương trình $y=x$: Trong $\mathbb{R}^3$, vì $z$ là "tự do", phương trình này biểu diễn một mặt phẳng đứng đi qua trục z, cắt mặt phẳng xy dọc theo đường thẳng $y=x$.